ডট গুণন ও ক্রস গুণন MCQ প্রশ্ন ও উত্তর — টপিক

প্রশ্ন: যদি $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ হয়, তাহলে $\vec{A} + \vec{B}$ এবং $\vec{A} - \vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ হবে-

(ক) $60^\circ$

(খ) $30^\circ$

(গ) $90^\circ$

(ঘ) $120^\circ$

সঠিক উত্তর: (গ)

ব্যাখ্যা:

প্রথমে ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করি: $$\vec{A} + \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$$ $$\vec{A} - \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$$ এখন, প্রাপ্ত ভেক্টর দুটির ডট গুণফল: $$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (4 \times -2) + (1 \times 3) + (-1 \times -5)$$ $$= -8 + 3 + 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফলের মান শূন্য, তাই $(\vec{A} + \vec{B})$ এবং $(\vec{A} - \vec{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$

প্রশ্ন: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ । $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $90^\circ$

(গ) $30^\circ$

(ঘ) $45^\circ$

সঠিক উত্তর: (খ)

ব্যাখ্যা:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ বা, $$AB\cos\theta = 0$$ যেহেতু, ভেক্টর দুটির মান শূন্য নয় ($A \neq 0, B \neq 0$), তাই $\cos\theta = 0$ হবে। $$\therefore \cos\theta = \cos 90^\circ \Rightarrow \theta = 90^\circ$$

প্রশ্ন: "a" এর কোন মানের জন্য ভেক্টর $a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ এবং $2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}$ একে অপরের সাথে লম্ব হবে?

(ক) 3, 1

(খ) 2, 4

(গ) -2, 1

(ঘ) 3, 2

সঠিক উত্তর: (গ)

ব্যাখ্যা:

ভেক্টর দুটি লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে। $$\therefore (a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}) = 0$$ $$\Rightarrow (a \times 2a) + (-2 \times -a) + (1 \times -4) = 0$$ $$\Rightarrow 2a^2 + 2a - 4 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + 2a - a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a(a + 2) - 1(a + 2) = 0$$ $$\Rightarrow (a + 2)(a - 1) = 0$$ $$\therefore a = 1, -2$$

প্রশ্ন: যদি $\vec{P} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{Q} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ হলে, $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $111.01^\circ$

(খ) $110.49^\circ$

(গ) $101.49^\circ$

(ঘ) $69^\circ$

সঠিক উত্তর: (ক)

ব্যাখ্যা:

$$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|}$$ $$= \frac{(2 \times -1) + (4 \times 2) + (-5 \times 3)}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-5)^2} \times \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}}$$ $$= \frac{-2 + 8 - 15}{\sqrt{4 + 16 + 25} \times \sqrt{1 + 4 + 9}}$$ $$= \frac{-9}{\sqrt{45}\sqrt{14}}$$ $$\therefore \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{45\times 14}}\right) = 111.01^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{a}$ ও $\vec{b}$ দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে $(\vec{a} + \vec{b})$ ও $(\vec{a} - \vec{b})$ এর ডট গুণফল কত?

(ক) 0

(খ) 4a

(গ) 2a

(ঘ) None

সঠিক উত্তর: (ক)

ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে, ভেক্টর দুটির মান সমান, অর্থাৎ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = a$ (ধরি)। যেহেতু তারা সমকোণে ক্রিয়াশীল, তাই তাদের ডট গুণফল $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। এখন, $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$$ $$= |\vec{a}|^2 - 0 + 0 - |\vec{b}|^2 \text{ [যেহেতু, } \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0\text{]}$$ $$= a^2 - a^2 = 0$$

প্রশ্ন: $30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k})$ এর মান কত?

(ক) $30\hat{i}$

(খ) $-30\hat{i}$

(গ) $3\hat{i}$

(ঘ) $\vec{0}$

সঠিক উত্তর: (ঘ)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, পরস্পর লম্ব একক ভেক্টরগুলোর ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \hat{j} \cdot \hat{k} = |\hat{j}||\hat{k}|\cos 90^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$$ প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই, $$30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k}) = 30\hat{i}(0) = \vec{0}$$

প্রশ্ন: $3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$

(খ) $90^\circ$

(গ) $137^\circ$

(ঘ) কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: (খ)

ব্যাখ্যা:

ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল নির্ণয় করে পাই: $$(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$$ $$= (3 \times 3) + (4 \times -1) + (-5 \times 1)$$ $$= 9 - 4 - 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফল শূন্য, তাই ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব। $$\therefore \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{A} = m\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}$ পরস্পর দুটি লম্ব ভেক্টর হলে m এর মান কত?

(ক) -22

(খ) 22

(গ) 44

(ঘ) -44

সঠিক উত্তর: (খ)

ব্যাখ্যা:

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ $$\Rightarrow (m \times 2) + (2 \times 3) + (-5 \times 10) = 0$$ $$\Rightarrow 2m + 6 - 50 = 0$$ $$\Rightarrow 2m - 44 = 0$$ $$\Rightarrow 2m = 44$$ $$\Rightarrow m = 22$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $63.92^\circ$

(খ) $33.74^\circ$

(গ) $123.74^\circ$

(ঘ) $56.25^\circ$

সঠিক উত্তর: (খ)

ব্যাখ্যা:

$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{(2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k})}{\sqrt{4+4+9} \times \sqrt{9+36+4}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{6 + 12 + 6}{\sqrt{17} \times \sqrt{49}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{17}}\right) = 33.74^\circ$$