Examirox

🎯 নতুন ব্যাচ শুরু হচ্ছে — এখনই নিবন্ধন করো →

প্রশ্ন: The pilot of a private plane flies 20.0 km in a direction $60^\circ$ north of east, then 30.0 km straight east, then 10.0 km straight north. How far the plane is from the starting point? (একটি ব্যক্তিগত বিমানের পাইলট পূর্বদিকের সাথে $60^\circ$ কোণে উত্তর দিকে 20.0 কিমি উড়ে, তারপর সোজা পূর্ব দিকে 30.0 কিমি, তারপর সোজা উত্তরে 10.0 কিমি উড়ে। বিমানটি শুরুর স্থান থেকে কত দূরে অবস্থিত?)

(ক) 58.44 km
(খ) 38.44 km
(গ) 48.44 km
(ঘ) 46.44 km
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, শুরুর স্থানটি মূলবিন্দু (0,0)। পূর্ব দিককে x-অক্ষ এবং উত্তর দিককে y-অক্ষ বিবেচনা করি। মোট পূর্ব দিকের (x-অক্ষ) সরণ: $$D_E = 20\cos 60^\circ + 30 + 0$$ $$= 20(0.5) + 30 = 10 + 30 = 40\text{ km}$$ মোট উত্তর দিকের (y-অক্ষ) সরণ: $$D_N = 20\sin 60^\circ + 0 + 10$$ $$= 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 10$$ $$= 10\sqrt{3} + 10 \approx 17.32 + 10 = 27.32\text{ km}$$ শুরুর স্থান থেকে মোট দূরত্ব (লব্ধি সরণ): $$R = \sqrt{D_E^2 + D_N^2}$$ $$= \sqrt{40^2 + (27.32)^2}$$ $$= \sqrt{1600 + 746.38} = \sqrt{2346.38} \approx 48.44\text{ km}$$

প্রশ্ন: A particle has 3 velocities 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ and 30 $ms^{-1}$ inclined at angle of $120^\circ$ to one another. The magnitude of the resultant velocity is- (একটি কণার 3টি বেগ আছে, যথা 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ এবং 30 $ms^{-1}$ এবং বেগগুলোর মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$। লব্ধি বেগের মান হলো-)

(ক) $10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
(খ) $10\text{ ms}^{-1}$
(গ) $5\text{ ms}^{-1}$
(ঘ) $\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ধরি, প্রথম বেগটি ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করছে। তাহলে বেগগুলোর কোণ হবে যথাক্রমে $0^\circ$, $120^\circ$ এবং $240^\circ$। x-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_x = 10\cos 0^\circ + 20\cos 120^\circ + 30\cos 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_x = 10(1) + 20(-0.5) + 30(-0.5)$$ $$= 10 - 10 - 15 = -15\text{ ms}^{-1}$$ y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_y = 10\sin 0^\circ + 20\sin 120^\circ + 30\sin 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_y = 0 + 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 30\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$= 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$ লব্ধি বেগের মান: $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ $$= \sqrt{(-15)^2 + (-5\sqrt{3})^2}$$ $$= \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$

প্রশ্ন: একটি ভেক্টর $\vec{A}$ $30^\circ$ কোণে ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। অপর একটি ভেক্টর $\vec{B}$ ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। $|\vec{A}| = 4$, $|\vec{B}| = 8$ হলে, লব্ধি ভেক্টর কোনটি?

(ক) $2\sqrt{3}\hat{i} + 6\hat{j}$
(খ) $\sqrt{7}\hat{i} - 3\hat{j}$
(গ) $2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$
(ঘ) None
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টর: $$\vec{A} = (|\vec{A}|\cos 30^\circ)\hat{i} + (|\vec{A}|\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$\vec{A} = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 4\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টর ঋণাত্মক y-অক্ষ বরাবর ক্রিয়ারত: $$\vec{B} = -8\hat{j}$$ লব্ধি ভেক্টর $$= \vec{A} + \vec{B}$$ $$= (2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}) - 8\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$$

প্রশ্ন: x-অক্ষ বরাবর থেকে $30^\circ$ একটি ভেক্টর $|\vec{A}| = 2$; y অক্ষ বরাবর হতে $|\vec{B}| = 3$ তবে $|\vec{A} - \vec{B}| = ?$

(ক) 2.628
(খ) 2.646
(গ) 3.6148
(ঘ) 1.5168
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টরটিকে উপাংশে ভাগ করলে: $$\vec{A} = (2\cos 30^\circ)\hat{i} + (2\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 2\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টরটি y-অক্ষ বরাবর, তাই: $$\vec{B} = 3\hat{j}$$ এখন, $$\vec{A} - \vec{B} = (\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}) - 3\hat{j} = \sqrt{3}\hat{i} - 2\hat{j}$$ $$\therefore |\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-2)^2}$$ $$= \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \approx 2.646$$

প্রশ্ন: 40 kg ভরের বস্তুকে উল্লম্বের সাথে $45^\circ$ কোণে দুটি সুতা দিয়ে ঝুলিয়ে রাখলে সুতার টান কত হবে?

(ক) 277.186 N
(খ) 288.576 N
(গ) 196 N
(ঘ) 554.372 N
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ভারসাম্য অবস্থায়, সুতার টানের উল্লম্ব উপাংশগুলোর যোগফল বস্তুর ওজনের সমান হবে। ধরি সুতার টান $T$। $$T\cos 45^\circ + T\cos 45^\circ = W$$ $$\Rightarrow 2T\cos 45^\circ = mg$$ $$\Rightarrow 2T \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 40 \times 9.8$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}T = 392$$ $$\therefore T = \frac{392}{\sqrt{2}} \approx 277.186\text{ N}$$

প্রশ্ন: ABCD বর্গের AB, AC, AD বাহু বরাবর 5, $3\sqrt{2}$, 3 একক বল ক্রিয়া করলে লব্ধি বলের মান ও দিক কোনটি? (AB বাহুর সাপেক্ষে)

(ক) 10, $\tan^{-1}\frac{6}{8}$
(খ) 10, $\tan^{-1}\frac{8}{6}$
(গ) 10, $\tan^{-1}\frac{3}{8}$
(ঘ) 10, $\tan^{-1}\frac{6}{4}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
AB বাহুকে x-অক্ষ ধরলে, বলগুলোর দিক হবে যথাক্রমে $0^\circ$, $45^\circ$ এবং $90^\circ$। x-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_x = 5\cos 0^\circ + 3\sqrt{2}\cos 45^\circ + 3\cos 90^\circ$$ $$\Rightarrow R_x = 5(1) + 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3(0) = 5 + 3 + 0 = 8$$ y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_y = 5\sin 0^\circ + 3\sqrt{2}\sin 45^\circ + 3\sin 90^\circ$$ $$\Rightarrow R_y = 0 + 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3(1) = 0 + 3 + 3 = 6$$ লব্ধির মান, $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ $$= \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$$ লব্ধির দিক, $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right)$$

প্রশ্ন: একটি লন রোলার ঠেলা বা টানার সময় তুমি এর হাতলে অনুভূমিকের সাথে $30^\circ$ কোণে 19.6 N বল প্রয়োগ করছ। এটা টানা অপেক্ষাকৃত সহজ কারণ এর ওজন তখন কমে-

(ক) $\sqrt{3}$ kg-weight
(খ) 19.6 kg-weight
(গ) 1 kg-weight
(ঘ) 9.8 kg-weight
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
লন রোলার টানার সময় বলটিকে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায়: ১. অনুভূমিক উপাংশ: $F\cos\theta$ (যা রোলারটিকে সামনের দিকে নিয়ে যায়) ২. উল্লম্ব উপাংশ: $F\sin\theta$ (যা উপরের দিকে ক্রিয়া করে রোলারের আপাত ওজন কমায়) এখানে, প্রযুক্ত বল, $F = 19.6\text{ N}$ এবং কোণ, $\theta = 30^\circ$ ওজন কমার পরিমাণ = উল্লম্ব উপাংশ $$= F\sin 30^\circ$$ $$= 19.6 \times 0.5 = 9.8\text{ N}$$ এখন, ওজনকে kg-weight এককে নিতে হলে $g$ ($9.8\text{ ms}^{-2}$) দিয়ে ভাগ করতে হবে। $\therefore$ ওজন কমে $$= \frac{9.8}{9.8}\text{ kg-weight} = 1\text{ kg-weight}$$
Scroll to Top