ভেক্টরের সামান্তরিক সূত্র MCQ প্রশ্ন ও উত্তর — টপিক

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর রাশির বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর লব্ধিদ্বয় যথাক্রমে 28 একক ও 4 একক। রাশি দুটি পরস্পরের সাথে $90^\circ$ কোণে কোন একটি কণার উপর ক্রিয়া করল। লব্ধির মান কত?

(ক) None of them

(খ) 28 unit

(গ) 24 unit

(ঘ) 20 unit

সঠিক উত্তর: (ঘ)

ব্যাখ্যা:

ধরি, ভেক্টর দুটি P ও Q (যেখানে P > Q)। বৃহত্তর লব্ধি (সর্বোচ্চ মান), $$P + Q = 28$$ ক্ষুদ্রতর লব্ধি (সর্বনিম্ন মান), $$P - Q = 4$$ সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই, $$2P = 32 \Rightarrow P = 16$$ সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে পাই, $$2Q = 24 \Rightarrow Q = 12$$ এখন, রাশি দুটি পরস্পরের সাথে $\alpha = 90^\circ$ কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধি R হবে: $$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos 90^\circ}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + Q^2} \text{ [যেহেতু } \cos 90^\circ = 0 \text{]}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{16^2 + 12^2}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{256 + 144}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{400}$$ $$= 20 \text{ unit}$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টরের মধ্যে একটি অন্যটির দ্বিগুণ এবং এদের লব্ধির মান বড় ভেক্টরটির সমান হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যকার কোণের মান-

(ক) $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$

(খ) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(গ) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)$

(ঘ) $\cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$

সঠিক উত্তর: (গ)

ব্যাখ্যা:

ধরি, ছোট ভেক্টরটি P এবং বড় ভেক্টরটি 2P। প্রশ্নমতে, লব্ধির মান বড় ভেক্টরটির সমান, অর্থাৎ $R = 2P$। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে লব্ধির সূত্রানুসারে, $$R^2 = P^2 + (2P)^2 + 2 \cdot P \cdot (2P) \cos\theta$$ $$\Rightarrow (2P)^2 = P^2 + 4P^2 + 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow 4P^2 = 5P^2 + 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow 4P^2 - 5P^2 = 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow -P^2 = 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow \cos\theta = -\frac{P^2}{4P^2}$$ $$\Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{4}$$ $$\therefore \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)$$

প্রশ্ন: দুইটি সমান মানের ভেক্টরের লব্ধির মান কোন অবস্থায় ওদের প্রত্যেকের মানের সমান হতে পারে?

(ক) $0^\circ$

(খ) $60^\circ$

(গ) $90^\circ$

(ঘ) $120^\circ$

সঠিক উত্তর: (ঘ)

ব্যাখ্যা:

ধরি, সমান দুইটি ভেক্টরের মান = P এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, লব্ধি, $$R = \sqrt{P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cos\alpha}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{2P^2(1 + \cos\alpha)}$$ $$= \sqrt{2P^2 \cdot 2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$$ $$= 2P \cos\frac{\alpha}{2}$$ প্রশ্নমতে, লব্ধির মান ভেক্টর দুটির মানের সমান, অর্থাৎ $R = P$ সুতরাং, $$2P \cos\frac{\alpha}{2} = P$$ $$\Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} = \cos 60^\circ$$ $$\Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 60^\circ$$ $$\therefore \alpha = 120^\circ$$

প্রশ্ন: দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি নাল ভেক্টর হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $90^\circ$

(খ) $180^\circ$

(গ) $0^\circ$

(ঘ) $270^\circ$

সঠিক উত্তর: (খ)

ব্যাখ্যা:

ধরি, সমান ভেক্টর দুটির মান P এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। লব্ধি নাল ভেক্টর হওয়ায় লব্ধির মান 0 হবে। লব্ধির সূত্রানুসারে, $$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha$$ $$\Rightarrow 0 = P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cos\alpha \text{ [যেহেতু Q = P]}$$ $$\Rightarrow 0 = 2P^2 + 2P^2 \cos\alpha$$ $$\Rightarrow 0 = 2P^2(1 + \cos\alpha)$$ $$\Rightarrow 1 + \cos\alpha = 0$$ $$\Rightarrow \cos\alpha = -1$$ $$\therefore \alpha = 180^\circ$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর রাশির লব্ধির সর্বোচ্চ মান 25 একক এবং সর্বনিম্ন মান 7 একক। ভেক্টর দুটির মান কত?

(ক) 25, 18

(খ) 14, 7

(গ) 16, 9

(ঘ) 20, 5

সঠিক উত্তর: (গ)

ব্যাখ্যা:

ধরি, ভেক্টর দুটি A ও B (যেখানে A > B)। আমরা জানি, লব্ধির সর্বোচ্চ মান ভেক্টরদ্বয়ের যোগফলের সমান এবং সর্বনিম্ন মান ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান। শর্তমতে, $$A + B = 25 \dots (i)$$ $$A - B = 7 \dots (ii)$$ সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, $$2A = 32 \Rightarrow A = 16$$ সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই, $$2B = 18 \Rightarrow B = 9$$ সুতরাং, ভেক্টর দুটির মান 16 এবং 9।