Examirox

🎯 নতুন ব্যাচ শুরু হচ্ছে — এখনই নিবন্ধন করো →

প্রশ্ন: কোনো কিছু ব্যাখ্যার জন্য যে আনুষ্ঠানিক চিন্তা ধারা তাকে বলে-

(ক) স্বীকার্য
(খ) তত্ত্ব
(গ) অনুকল্প
(ঘ) সূত্র
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিতে কোনো ঘটনা বা বিষয়কে সুশৃঙ্খলভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য পরীক্ষা-নিরীক্ষা ও প্রমাণের ভিত্তিতে প্রতিষ্ঠিত আনুষ্ঠানিক চিন্তাধারাই হলো তত্ত্ব বা Theory। [ বি.দ্র:] ইসহাক স্যারের বইয়ে এই প্রশ্নের উত্তর (c) দেওয়া। কিন্তু তপন স্যারের বইয়ে সঠিক উত্তর (b) দেওয়া রয়েছে।

প্রশ্ন: সাধারণভাবে কোনো নির্দিষ্ট শর্তে সব সময় কী ঘটবে তার বর্ণনাকে কী বলে?

(ক) নীতি
(খ) সূত্র
(গ) ধারণা
(ঘ) অনুকল্প
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
একটি নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে প্রকৃতিতে সবসময় কী ঘটবে, তার গাণিতিক বা বর্ণনামূলক রূপই হলো সূত্র (Law)। যেমন- নিউটনের গতির সূত্র। [বি.দ্র:] ইসহাক স্যারের বইয়ে এই প্রশ্নের উত্তর (a) দেওয়া। কিন্তু তপন স্যারের বইয়ে সঠিক উত্তর (b) দেওয়া রয়েছে।

প্রশ্ন: গাণিতিক বা যৌক্তিক বিবৃতি যা ভৌত আচরণসমূহের প্রায়োগিক পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে গঠিত হয়-

(ক) তত্ত্ব
(খ) নীতি
(গ) সূত্র
(ঘ) অনুকল্প
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
বিজ্ঞানে নীতি (Principle) বলতে এমন যৌক্তিক বিবৃতিকে বোঝায় যা বিভিন্ন ভৌত আচরণের প্রায়োগিক পর্যবেক্ষণ থেকে গঠিত এবং যা অন্যান্য বৈজ্ঞানিক সূত্র প্রতিষ্ঠায় ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।

প্রশ্ন: পরীক্ষিত, সর্বজনস্বীকৃত, সব ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে হয়-

(ক) স্বীকার্য
(খ) সূত্র
(গ) তত্ত্ব
(ঘ) ধারণা
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
সূত্র (Law) হলো প্রকৃতির এমন একটি নিয়ম যা নির্দিষ্ট শর্তে সর্বদা এবং সব ক্ষেত্রে একই ফলাফল দেয় এবং এটি পরীক্ষিত ও সর্বজনস্বীকৃত সত্য।

প্রশ্ন: "দুটি রেখা আলাদাভাবে তৃতীয় একটি রেখার সমান হলে প্রথমোক্ত রেখাদ্বয় পরস্পর সমান।" এটি কীসের অন্তর্গত-

(ক) অনুকল্প
(খ) তত্ত্ব
(গ) সূত্র
(ঘ) স্বীকার্য
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
এটি জ্যামিতির একটি স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য (Postulate), যা প্রমাণের প্রয়োজন ছাড়াই পরম সত্য বলে মেনে নেওয়া হয়।

প্রশ্ন: বৈজ্ঞানিক ঘটনার অনুমিত ব্যাখ্যা যা এখনো প্রমাণিত হয়নি-

(ক) তত্ত্ব
(খ) ধারণা
(গ) অনুকল্প
(ঘ) নীতি
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
অনুকল্প (Hypothesis) হলো ঘটনার প্রাথমিক অনুমান, যা সত্য হতে পারে আবার নাও হতে পারে, কারণ এটি তখনও পরীক্ষা দ্বারা সম্পূর্ণভাবে প্রমাণিত নয়।

প্রশ্ন: প্রকৃতিকে সবচেয়ে সার্থকভাবে ব্যাখ্যা করা যায় কোনটি দ্বারা?

(ক) Law
(খ) Posltulate
(গ) Theory
(ঘ) Hypothesis
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
তত্ত্ব (Theory) হলো প্রমাণিত অনুকল্প যা দ্বারা প্রকৃতির বিভিন্ন ঘটনাকে বিস্তারিত, বিস্তৃত এবং সবচেয়ে সার্থকভাবে ব্যাখ্যা করা যায়।

প্রশ্ন: গ্যাসের অণুসমূহের গতি সম্পর্কে কিছু ধারণাকে সত্য হিসেবে ধরে নিয়ে গ্যাসের আচরণ ব্যাখ্যা করা-

(ক) স্বীকার্য
(খ) নীতি
(গ) সূত্র
(ঘ) অনুকল্প
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
বিনা প্রমাণে কোনো কিছুকে সত্য বলে ধরে নেওয়াকে স্বীকার্য (Postulate) বলে। গ্যাসের গতিতত্ত্বে অণুগুলোর গতি সম্পর্কে এরকম কিছু প্রাথমিক শর্ত বা স্বীকার্য ধরে নেওয়া হয়েছে।

প্রশ্ন: প্রাকৃতিক সত্য সুস্পষ্টভাবে প্রমাণ করা যায় কোনটি দ্বারা?

(ক) Concept
(খ) Theory
(গ) Principle
(ঘ) Postulate
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
প্রকৃতির সাধারণ সত্যগুলো নীতির (Principle) সাহায্যে সুস্পষ্টভাবে তুলে ধরা যায়। নীতি হলো প্রাকৃতিক সত্যের এমন একটি আদর্শ রূপ যা দিয়ে অন্যান্য ঘটনা বিচার করা হয়।

প্রশ্ন: কোনটি পর্যবেক্ষিত ঘটনার প্রাথমিক ব্যাখ্যা প্রদান করে?

(ক) ধারণা
(খ) অনুকল্প
(গ) তত্ত্ব
(ঘ) সূত্র
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
কোনো বৈজ্ঞানিক ঘটনা পর্যবেক্ষণের পর তার কারণ হিসেবে প্রাথমিকভাবে যে অনুমান বা সাময়িক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়, তাকে অনুকল্প (Hypothesis) বলে।

প্রশ্ন: কোনটি সত্য?

(ক) সকল অনুকল্প তত্ত্ব নয়
(খ) সকল অনুকল্প সূত্র
(গ) সকল সূত্র অনুকল্প নয়
(ঘ) সকল তত্ত্ব অনুকল্প নয়
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
যেকোনো প্রাথমিক অনুমানই অনুকল্প। কিন্তু অনুকল্প তখনই তত্ত্ব হয় যখন তা প্রমাণিত হয়। তাই প্রমাণিত না হলে অনুকল্প তত্ত্ব হতে পারে গঠন, অর্থাৎ সকল অনুকল্প তত্ত্ব নয়।

প্রশ্ন: "তাপ এক প্রকার শক্তি" -এটি একটি-

(ক) নীতি
(খ) অনুকল্প
(গ) ধারণা
(ঘ) তত্ত্ব
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
তাপ যে কাজ করার সামর্থ্য রাখে এবং এটি যে শক্তির একটি রূপ, এই প্রাথমিক বোধগম্যতা বা উপলব্ধিই হলো একটি বৈজ্ঞানিক ধারণা (Concept)।

প্রশ্ন: স্বীকার্য কী?

(ক) গাণিতিক যুক্তি
(খ) তত্ত্বের ভিত্তি প্রদানকারী
(গ) বৈজ্ঞানিক পরীক্ষায় প্রমাণিত
(ঘ) পরীক্ষণের সার-সংক্ষেপ
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
যেসব বিবৃতিকে বিনা প্রমাণে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় এবং যেগুলো অন্যান্য তত্ত্ব বা গাণিতিক প্রমাণের ভিত্তি হিসেবে কাজ করে, তাদের স্বীকার্য (Postulate) বলে।

প্রশ্ন: সনাতনী বলবিদ্যায় কোন দুটিকে ধ্রুব ধরা হয়?

(ক) স্থান ও কাল
(খ) স্থান ও দ্রুতি
(গ) দ্রুতি ও কাল
(ঘ) স্থান ও ত্বরণ
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
নিউটনীয় বা সনাতনী বলবিদ্যায় (Classical Mechanics) স্থান (Space), কাল (Time) এবং ভর (Mass)-কে পরম বা ধ্রুব ধরা হয়। আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্বে এসে এগুলোকে আপেক্ষিক প্রমাণ করা হয়।

প্রশ্ন: কোনো কিছু সম্পর্কে সঠিক উপলব্ধি বা বোধগম্যতাকে কী বলে?

(ক) ধারণা
(খ) সূত্র
(গ) নীতি
(ঘ) তত্ত্ব
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
কোনো বৈজ্ঞানিক বিষয় সম্পর্কে আমাদের মনের যে প্রতিচ্ছবি বা সঠিক উপলব্ধি তৈরি হয়, তাকেই ধারণা বা Concept বলে।

প্রশ্ন: পদার্থবিজ্ঞানের ভিত্তির সাধারণ সূত্রগুলোকে কী বলা হয়?

(ক) নীতি
(খ) ধারণা
(গ) অনুমিতি
(ঘ) স্বীকার্য
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
বিজ্ঞানের যেসব সাধারণ সূত্র বা প্রাকৃতিক সত্য অসংখ্য ঘটনাকে ব্যাখ্যা করতে পারে এবং যার সাহায্যে অন্যান্য বিষয় প্রমাণের ভিত্তি তৈরি হয়, তাদের নীতি বা Principle বলে।

প্রশ্ন: পরীক্ষা দ্বারা প্রমাণিত অনুকল্পকে বলে-

(ক) নীতি
(খ) স্বীকার্য
(গ) সূত্র
(ঘ) তত্ত্ব
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
কোনো ঘটনা পর্যবেক্ষণের পর তার কারণ হিসেবে যে প্রাথমিক অনুমান করা হয় তাকে অনুকল্প (Hypothesis) বলে। এই অনুকল্প যখন দীর্ঘ পরীক্ষা-নিরীক্ষা দ্বারা প্রমাণিত হয় এবং বিজ্ঞানীরা তা গ্রহণ করেন, তখন তা তত্ত্বে (Theory) পরিণত হয়।

প্রশ্ন: একটি আদর্শ বা যুক্তিপূর্ণ আচরণ ভিত্তি যার সাপেক্ষে অন্যান্য বিষয় তুলনা, বিচার বিশ্লেষণ ও পরিমাপ করা হয় তাকে কী বলে?

(ক) সূত্র
(খ) নীতি
(গ) অনুকল্প
(ঘ) স্বীকার্য
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
বিজ্ঞানের যেসব সাধারণ সূত্র বা প্রাকৃতিক সত্য রয়েছে তাকে নীতি (Principle) বলে। এটি এমন একটি আদর্শ বা যুক্তিপূর্ণ আচরণ যার সাপেক্ষে অন্যান্য বিষয়ের তুলনা বা বিশ্লেষণ করা হয়।

প্রশ্ন: তত্ত্ব কী বিষয়ের উপর ভিত্তি করে গড়ে উঠে?

(ক) নীতি
(খ) অনুকল্প
(গ) অনুমিতি
(ঘ) পদ্ধতি
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
কোনো ঘটনা পর্যবেক্ষণের পর তার কারণ হিসেবে প্রাথমিকভাবে যে অনুমিত সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় তাকে অনুকল্প (Hypothesis) বলে। এই অনুকল্প যখন দীর্ঘ পরীক্ষা-নিরীক্ষা দ্বারা প্রমাণিত হয়, তখন তা তত্ত্বে (Theory) পরিণত হয়। অর্থাৎ, তত্ত্ব অনুকল্পের উপর ভিত্তি করেই গড়ে ওঠে।

প্রশ্ন: স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য কী?

(ক) গাণিতিক যুক্তি
(খ) কোনো ধারণা বা তত্ত্ব
(গ) বৈজ্ঞানিক পরীক্ষায় প্রমাণিত
(ঘ) পরীক্ষণের সার-সংক্ষেপ
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকার্য হলো এমন কোনো প্রাথমিক ধারণা বা তত্ত্ব, যা প্রমাণের প্রয়োজন ছাড়াই সত্য বলে মেনে নেওয়া হয় এবং যা অন্যান্য বিষয় প্রমাণের ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।

প্রশ্ন: বিনা প্রমাণে কোন কিছু মেনে নেওয়াকে বলে-

(ক) ধারণা
(খ) স্বীকার্য
(গ) নীতি
(ঘ) তত্ত্ব
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
বৈজ্ঞানিক তত্ত্ব বা গাণিতিক প্রমাণের ক্ষেত্রে বিনা প্রমাণে কোনো কিছু মেনে নিয়ে যে যুক্তি বা বিবৃতি প্রদান করা হয়, তাকে স্বীকার্য (Postulate) বলে। এটি তত্ত্বের ভিত্তি প্রদান করে।

প্রশ্ন: নিউক্লিয় পারমাণবিক চুল্লিতে-

(ক) ফিউশন মিথস্ক্রিয়া হয়
(খ) ফিশন মিথস্ক্রিয়া হয়
(গ) যান্ত্রিক শক্তি ব্যবহৃত হয়
(ঘ) পারমাণবিক বোমা বানানো হয়
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
নিউক্লিয় পারমাণবিক চুল্লিতে (Nuclear Reactor) নিয়ন্ত্রিতভাবে ফিশন (Fission) মিথস্ক্রিয়া বা চেইন বিক্রিয়া ঘটিয়ে বিপুল পরিমাণ শক্তি উৎপাদন করা হয়, যা সাধারণত বিদ্যুৎ উৎপাদনে কাজে লাগে।

প্রশ্ন: কোনটি সঠিক নয়?

(ক) বায়ুর চাপ মাপার যন্ত্র-ব্যারোমিটার
(খ) উষ্ণতা মাপার যন্ত্র-থার্মোমিটার
(গ) জলীয় বাষ্প মাপার যন্ত্র-হাইড্রোমিটার
(ঘ) পরমাণুর নিউক্লিয়াস ভাঙার যন্ত্র-রিঅ্যাক্টর
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
বায়ুতে জলীয় বাষ্পের পরিমাণ বা আর্দ্রতা মাপার জন্য আমরা হাইগ্রোমিটার (Hygrometer) নামক যন্ত্র ব্যবহার করি। আর হাইড্রোমিটার (Hydrometer) দিয়ে তরলের ঘনত্ব মাপা হয়।

প্রশ্ন: তরল পদার্থের বিশেষ ধর্ম কোনটি?

(ক) ওজন
(খ) বিস্তৃতি
(গ) সান্দ্রতা
(ঘ) ভঙ্গুরতা
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
পদার্থের বিশেষ ধর্ম হলো সেই ধর্ম যা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট অবস্থার পদার্থের থাকে। যেমন- সান্দ্রতা (Viscosity) ও পৃষ্ঠটান হলো তরল পদার্থের বিশেষ ধর্ম। অন্যদিকে ভঙ্গুরতা কঠিন পদার্থের বিশেষ ধর্ম এবং ওজন ও বিস্তৃতি সকল পদার্থের সাধারণ ধর্ম।

প্রশ্ন: পদার্থের সাধারণ ধর্ম নয় কোনটি?

(ক) ওজন
(খ) বিস্তৃতি
(গ) দৃঢ়তা
(ঘ) রোধ
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
যে ধর্ম সকল পদার্থেরই কম-বেশি রয়েছে তাকে পদার্থের সাধারণ ধর্ম বলে। যেমন- ওজন, বিস্তৃতি, রোধ, স্থিতিস্থাপকতা ইত্যাদি। কিন্তু 'দৃঢ়তা' কেবল কঠিন পদার্থের একটি বিশেষ ধর্ম, সকল পদার্থের নয়।

প্রশ্ন: ভৌত জগৎ কতটি উপাদানের সমন্বয়ে তৈরি?

(ক) 1
(খ) 2
(গ) 3
(ঘ) 4
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
ভৌত জগতের উপাদান মোট ৪টি। যথা: ১. স্থান, ২. কাল, ৩. ভর এবং ৪. শক্তি।

প্রশ্ন: উন্নত প্রজাতির বীজ উৎপাদনে ব্যবহৃত হয়?

(ক) তেজস্ক্রিয় আইসোটোপ
(খ) মাইক্রোবায়োলজি
(গ) এক্স-রে
(ঘ) রাসায়নিক সার
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
কৃষিক্ষেত্রে উন্নত প্রজাতির বীজ উৎপাদন এবং সংরক্ষণে বিভিন্ন ধরনের তেজস্ক্রিয় রশ্মি বা তেজস্ক্রিয় আইসোটোপ ব্যবহার করে মিউটেশন ঘটানো হয়।

প্রশ্ন: কোন দুটি ভৌত জগতের উপাদান?

(ক) সময় ও ত্বরণ
(খ) ভর ও স্থান
(গ) স্থান ও বেগ
(ঘ) ভর ও তাপমাত্রা
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
ভৌত জগত মূলত ৪টি উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত। এগুলো হলো: ১. স্থান (Space), ২. কাল বা সময় (Time), ৩. ভর (Mass) এবং ৪. শক্তি (Energy)। তাই ভর ও স্থান হলো ভৌত জগতের উপাদান।

প্রশ্ন: নিচের কোনটিতে পদার্থবিদ্যা লব্ধ জ্ঞান চিকিৎসা বিদ্যায় প্রয়োগ করা হয় না?

(ক) Biometric attendance
(খ) X-ray
(গ) Magnetic Resonance Imaging
(ঘ) Ultrasound
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
X-ray, MRI এবং Ultrasound হলো চিকিৎসাবিজ্ঞানে রোগ নির্ণয় ও চিকিৎসার জন্য ব্যবহৃত পদার্থবিজ্ঞানের গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার। অন্যদিকে, Biometric attendance হলো আঙুলের ছাপ বা চেহারা শনাক্তকরণের মাধ্যমে হাজিরা নেওয়ার প্রযুক্তি, যা চিকিৎসাবিদ্যায় প্রয়োগ করা হয় না।

প্রশ্ন: পদার্থবিদ্যার আওতায় আসে না কোনটি?

(ক) Astronomy
(খ) Anthropometry
(গ) Electromagnetism
(ঘ) Thermodynamics
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
পদার্থবিজ্ঞানের প্রধান শাখাগুলোর মধ্যে জ্যোতির্বিদ্যা, তড়িৎচৌম্বক বিজ্ঞান এবং তাপগতিবিদ্যা অন্তর্ভুক্ত। কিন্তু Anthropometry (নৃতত্ত্বমিতি) হলো মানুষের শারীরিক মাপজোখ সম্পর্কিত বিজ্ঞান, যা জীববিজ্ঞানের বা নৃবিজ্ঞানের আওতাভুক্ত।

প্রশ্ন: যদি $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ হয়, তাহলে $\vec{A} + \vec{B}$ এবং $\vec{A} - \vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ হবে-

(ক) $60^\circ$
(খ) $30^\circ$
(গ) $90^\circ$
(ঘ) $120^\circ$
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
প্রথমে ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করি: $$\vec{A} + \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$$ $$\vec{A} - \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$$ এখন, প্রাপ্ত ভেক্টর দুটির ডট গুণফল: $$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (4 \times -2) + (1 \times 3) + (-1 \times -5)$$ $$= -8 + 3 + 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফলের মান শূন্য, তাই $(\vec{A} + \vec{B})$ এবং $(\vec{A} - \vec{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$

প্রশ্ন: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ । $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $30^\circ$
(ঘ) $45^\circ$
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ বা, $$AB\cos\theta = 0$$ যেহেতু, ভেক্টর দুটির মান শূন্য নয় ($A \neq 0, B \neq 0$), তাই $\cos\theta = 0$ হবে। $$\therefore \cos\theta = \cos 90^\circ \Rightarrow \theta = 90^\circ$$

প্রশ্ন: "a" এর কোন মানের জন্য ভেক্টর $a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ এবং $2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}$ একে অপরের সাথে লম্ব হবে?

(ক) 3, 1
(খ) 2, 4
(গ) -2, 1
(ঘ) 3, 2
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ভেক্টর দুটি লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে। $$\therefore (a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}) = 0$$ $$\Rightarrow (a \times 2a) + (-2 \times -a) + (1 \times -4) = 0$$ $$\Rightarrow 2a^2 + 2a - 4 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + 2a - a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a(a + 2) - 1(a + 2) = 0$$ $$\Rightarrow (a + 2)(a - 1) = 0$$ $$\therefore a = 1, -2$$

প্রশ্ন: যদি $\vec{P} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{Q} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ হলে, $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $111.01^\circ$
(খ) $110.49^\circ$
(গ) $101.49^\circ$
(ঘ) $69^\circ$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
$$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|}$$ $$= \frac{(2 \times -1) + (4 \times 2) + (-5 \times 3)}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-5)^2} \times \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}}$$ $$= \frac{-2 + 8 - 15}{\sqrt{4 + 16 + 25} \times \sqrt{1 + 4 + 9}}$$ $$= \frac{-9}{\sqrt{45}\sqrt{14}}$$ $$\therefore \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{45\times 14}}\right) = 111.01^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{a}$ ও $\vec{b}$ দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে $(\vec{a} + \vec{b})$ ও $(\vec{a} - \vec{b})$ এর ডট গুণফল কত?

(ক) 0
(খ) 4a
(গ) 2a
(ঘ) None
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে, ভেক্টর দুটির মান সমান, অর্থাৎ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = a$ (ধরি)। যেহেতু তারা সমকোণে ক্রিয়াশীল, তাই তাদের ডট গুণফল $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। এখন, $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$$ $$= |\vec{a}|^2 - 0 + 0 - |\vec{b}|^2 \text{ [যেহেতু, } \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0\text{]}$$ $$= a^2 - a^2 = 0$$

প্রশ্ন: $30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k})$ এর মান কত?

(ক) $30\hat{i}$
(খ) $-30\hat{i}$
(গ) $3\hat{i}$
(ঘ) $\vec{0}$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, পরস্পর লম্ব একক ভেক্টরগুলোর ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \hat{j} \cdot \hat{k} = |\hat{j}||\hat{k}|\cos 90^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$$ প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই, $$30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k}) = 30\hat{i}(0) = \vec{0}$$

প্রশ্ন: $3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $137^\circ$
(ঘ) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল নির্ণয় করে পাই: $$(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$$ $$= (3 \times 3) + (4 \times -1) + (-5 \times 1)$$ $$= 9 - 4 - 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফল শূন্য, তাই ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব। $$\therefore \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{A} = m\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}$ পরস্পর দুটি লম্ব ভেক্টর হলে m এর মান কত?

(ক) -22
(খ) 22
(গ) 44
(ঘ) -44
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ $$\Rightarrow (m \times 2) + (2 \times 3) + (-5 \times 10) = 0$$ $$\Rightarrow 2m + 6 - 50 = 0$$ $$\Rightarrow 2m - 44 = 0$$ $$\Rightarrow 2m = 44$$ $$\Rightarrow m = 22$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $63.92^\circ$
(খ) $33.74^\circ$
(গ) $123.74^\circ$
(ঘ) $56.25^\circ$
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{(2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k})}{\sqrt{4+4+9} \times \sqrt{9+36+4}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{6 + 12 + 6}{\sqrt{17} \times \sqrt{49}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{17}}\right) = 33.74^\circ$$

প্রশ্ন: A plane has an air speed of 240 $kmh^{-1}$. What should be the plane's heading if it is to travel due north, relative to the earth in a wind blowing with a velocity of 100 km/hr in an easterly direction? (একটি বিমানের গতিবেগ 240 $kmh^{-1}$। যদি পূর্ব দিকে 100 km/hr বেগে বাতাস প্রবাহিত হয়, তাহলে ভূমির সাপেক্ষে উত্তর দিকে ভ্রমণ করতে হলে বিমানটির কোন দিকে রওনা দেওয়া উচিত?)

(ক) $24.62^\circ$
(খ) $2.462^\circ$
(গ) $2462^\circ$
(ঘ) $42.62^\circ$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
বিমানের গতিবেগ (বাতাসের সাপেক্ষে), $v_p = 240\text{ kmh}^{-1}$ বাতাসের বেগ, $v_w = 100\text{ kmh}^{-1}$ (পূর্ব দিকে) বিমানটিকে ভূমির সাপেক্ষে সোজা উত্তর দিকে যেতে হবে। অর্থাৎ লব্ধি বেগ উত্তর দিক বরাবর হতে হবে। যেহেতু বাতাস পূর্ব দিকে বইছে, তাই বিমানটিকে বাতাস ঠেলে উত্তর দিকে যেতে হলে অবশ্যই উত্তর-পশ্চিম (North-West) দিকে মুখ করে রওনা দিতে হবে। ধরি, উত্তর দিকের সাপেক্ষে বিমানটিকে $\theta$ কোণে রওনা দিতে হবে। ভেক্টর চিত্রানুযায়ী একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়, যেখানে অতিভুজ হিসেবে কাজ করে বিমানের নিজস্ব বেগ ($v_p$) এবং লম্ব হিসেবে কাজ করে বাতাসের বেগ ($v_w$)। $$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{v_w}{v_p}$$ $$\Rightarrow \sin\theta = \frac{100}{240}$$ $$\Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{100}{240}\right)$$ $$\Rightarrow \theta = 24.62^\circ$$

প্রশ্ন: কোনো এক বৃষ্টির দিনে ফাউজিয়া জানালার পাশে দাঁড়িয়ে দেখছিল বৃষ্টি লম্বভাবে 6 $kmh^{-1}$ বেগে পতিত হচ্ছে। ফাউজিয়া লক্ষ্য করল, রাস্তায় একজন লোক 4 $kmh^{-1}$ বেগে হাঁটছে এবং অপরজন 8 $kmh^{-1}$ বেগে সাইকেলে যাচ্ছে। হেঁটে চলা লোকটির সাপেক্ষে পড়ন্ত বৃষ্টির লব্ধি বেগ কত?

(ক) 7.01 $kmh^{-1}$
(খ) 9.01 $kmh^{-1}$
(গ) 8.21 $kmh^{-1}$
(ঘ) 7.21 $kmh^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
বৃষ্টির প্রকৃত বেগ, $v_r = 6\text{ kmh}^{-1}$ (উল্লম্বভাবে নিচের দিকে) হেঁটে চলা লোকের বেগ, $v_L = 4\text{ kmh}^{-1}$ (অনুভূমিক বরাবর) লোকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ (লব্ধি বেগ), $\vec{v}_{rL} = \vec{v}_r - \vec{v}_L$ যেহেতু বৃষ্টি উল্লম্বভাবে এবং লোক অনুভূমিকভাবে চলছে, তাদের দিক পরস্পরের সাথে লম্ব, অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$। $$\therefore |v_{rL}| = \sqrt{v_L^2 + v_r^2}$$ $$= \sqrt{4^2 + 6^2}$$ $$= \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$ $$= 7.21\text{ kmh}^{-1}$$

প্রশ্ন: An airplane flies due west at 185 $kmh^{-1}$ with respect to the air. There is a wind blowing at 85 $kmh^{-1}$ to the northeast relative to the ground. What is the plane's speed with respect to the ground? (একটি বিমান বাতাসের সাপেক্ষে 185 $kmh^{-1}$ বেগে পশ্চিম দিকে বইছিল। ভূমির সাপেক্ষে 85 $kmh^{-1}$ বেগে উত্তর-পূর্ব দিকে বাতাস বইছিল। ভূমির সাপেক্ষে বিমানের বেগ কত?)

(ক) 139 $kmh^{-1}$
(খ) 230 $kmh^{-1}$
(গ) 239 $kmh^{-1}$
(ঘ) 179 $kmh^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ধরি, ভূমির সাপেক্ষে বিমানের লব্ধি বেগ = $\vec{v}$ বাতাসের সাপেক্ষে বিমানের আপেক্ষিক বেগ, $v_a = 185\text{ kmh}^{-1}$ (পশ্চিম দিকে) ভূমির সাপেক্ষে বাতাসের বেগ, $v_w = 85\text{ kmh}^{-1}$ (উত্তর-পূর্ব দিকে) আমরা আপেক্ষিক বেগের সূত্র থেকে জানি, $\vec{v}_a = \vec{v} - \vec{v}_w$ $$\Rightarrow \vec{v} = \vec{v}_a + \vec{v}_w$$ অর্থাৎ, ভূমির সাপেক্ষে বিমানের বেগ হবে $\vec{v}_a$ এবং $\vec{v}_w$ এর ভেক্টর যোগফল। এখানে $\vec{v}_a$ (পশ্চিম) এবং $\vec{v}_w$ (উত্তর-পূর্ব) এর মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ $$\therefore v = \sqrt{v_a^2 + v_w^2 + 2 v_a v_w \cos(135^\circ)}$$ $$= \sqrt{185^2 + 85^2 + 2 \times 185 \times 85 \times \cos(135^\circ)}$$ $$= 138.6\text{ kmh}^{-1} \approx 139\text{ kmh}^{-1}$$

প্রশ্ন: A river flows toward the east. You head your boat $53^\circ$ west of north and achieve a velocity of 6.0 $ms^{-1}$ due north relative to the shore. What is your speed relative to the water? (একটি নদী পূর্ব দিকে প্রবাহিত হচ্ছে। তুমি তোমার নৌকাটিকে উত্তর দিকের সাথে $53^\circ$ পশ্চিমে নিয়ে যাও এবং তীরের সাপেক্ষে উত্তর দিকে 6.0 $ms^{-1}$ বেগ অর্জন করো। স্রোতের সাপেক্ষে তোমার গতি কত?)

(ক) 8 $ms^{-1}$
(খ) 6 $ms^{-1}$
(গ) 10 $ms^{-1}$
(ঘ) 12 $ms^{-1}$
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, উত্তর দিক বরাবর বেগ $u_y = 6.0$ $ms^{-1}$ এবং স্রোতের বেগ $u_x = u_{river}$ (পূর্ব দিকে)। চিত্রানুসারে, নৌকাটিকে উত্তর দিকের সাথে $53^\circ$ কোণে (পশ্চিমে) চালনা করা হয়েছে। অতএব, $$\tan 53^\circ = \frac{u_x}{u_y}$$ $$\Rightarrow u_x = \tan 53^\circ \times u_y$$ $$\Rightarrow u_x = \tan 53^\circ \times 6 = 7.96 \approx 8$$ $ms^{-1}$ সুতরাং, স্রোতের বেগ $u_{river} = 8$ $ms^{-1}$ এখন, স্রোতের সাপেক্ষে নৌকার আপেক্ষিক বেগ (গতি), $\vec{u}_{relative} = \vec{u}_y - \vec{u}_{river}$ মান নির্ণয় করলে: $$u_{relative} = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + 2 u_x u_y \cos 90^\circ}$$ $$= \sqrt{8^2 + 6^2 + 2 \cdot 8 \cdot 6 \cos 90^\circ}$$ $$\therefore u_{relative} = \sqrt{64 + 36 + 0}$$ $$= \sqrt{100} = 10$$ $ms^{-1}$

প্রশ্ন: $5 ms^{-1}$ বেগে প্রবাহমান স্রোত বিশিষ্ট একটি নদীতে $10 ms^{-1}$ বেগে চলমান নৌকা 1 hour যাত্রা করে সোজা অপর পাড়ে গিয়ে পৌঁছায়। তাহলে নদীর প্রস্থ কত হবে?

(ক) 30 km
(খ) 31 km
(গ) 32 km
(ঘ) 29 km
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
সোজা অপর পাড়ে পৌঁছানোর ক্ষেত্রে লব্ধি বেগ, $$v_{resultant} = \sqrt{v^2 - u^2}$$ নদীর প্রস্থ, $$d = v_{resultant} \times t$$ $$\Rightarrow d = \sqrt{10^2 - 5^2} \times (60 \times 60)$$ m [যেহেতু, $1$ hour $= 3600$ s] $$\Rightarrow d = \sqrt{75} \times 3600$$ m $$= 31176.9$$ m $$\therefore d = 31.176$$ km $$\approx 31$$ km

প্রশ্ন: $4 kmh^{-1}$ বেগে প্রবাহমান স্রোতযুক্ত নদীতে কত কোণে নৌকা চালালে $5 kmh^{-1}$ বেগে নৌকা চালাতে সক্ষম একজন মাঝি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে?

(ক) $120^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $136.37^\circ$
(ঘ) $143.1301^\circ$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
নৌকাটি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে স্রোতের দিকের সাথে লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হতে হবে। $$v \cos\alpha + u = 0$$ $$\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{u}{v}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(-\frac{4}{5}\right)$$ $$= 143.1301^\circ$$

প্রশ্ন: একটি নদীর প্রস্থ 400 m এবং স্রোতের বেগ $3 ms^{-1}$। একজন মাঝি $5 ms^{-1}$ বেগে নৌকা চালিয়ে আড়াআড়িভাবে নদী পার হতে চাইলে কত সময় লাগবে?

(ক) 80 s
(খ) 100 s
(গ) 120 s
(ঘ) 150 s
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
আড়াআড়ি (সোজা অপর পাড়ে) চলার জন্য প্রয়োজনীয় কোণ, $$\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{u}{v}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)$$ $$= 126.86^\circ$$ $\therefore$ প্রয়োজনীয় সময়, $$t = \frac{d}{v \sin\alpha}$$ $$= \frac{400}{5 \sin 126.86^\circ}$$ $$= 99.987 \approx 100$$ s

প্রশ্ন: The pilot of a private plane flies 20.0 km in a direction $60^\circ$ north of east, then 30.0 km straight east, then 10.0 km straight north. How far the plane is from the starting point? (একটি ব্যক্তিগত বিমানের পাইলট পূর্বদিকের সাথে $60^\circ$ কোণে উত্তর দিকে 20.0 কিমি উড়ে, তারপর সোজা পূর্ব দিকে 30.0 কিমি, তারপর সোজা উত্তরে 10.0 কিমি উড়ে। বিমানটি শুরুর স্থান থেকে কত দূরে অবস্থিত?)

(ক) 58.44 km
(খ) 38.44 km
(গ) 48.44 km
(ঘ) 46.44 km
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, শুরুর স্থানটি মূলবিন্দু (0,0)। পূর্ব দিককে x-অক্ষ এবং উত্তর দিককে y-অক্ষ বিবেচনা করি। মোট পূর্ব দিকের (x-অক্ষ) সরণ: $$D_E = 20\cos 60^\circ + 30 + 0$$ $$= 20(0.5) + 30 = 10 + 30 = 40\text{ km}$$ মোট উত্তর দিকের (y-অক্ষ) সরণ: $$D_N = 20\sin 60^\circ + 0 + 10$$ $$= 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 10$$ $$= 10\sqrt{3} + 10 \approx 17.32 + 10 = 27.32\text{ km}$$ শুরুর স্থান থেকে মোট দূরত্ব (লব্ধি সরণ): $$R = \sqrt{D_E^2 + D_N^2}$$ $$= \sqrt{40^2 + (27.32)^2}$$ $$= \sqrt{1600 + 746.38} = \sqrt{2346.38} \approx 48.44\text{ km}$$

প্রশ্ন: A particle has 3 velocities 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ and 30 $ms^{-1}$ inclined at angle of $120^\circ$ to one another. The magnitude of the resultant velocity is- (একটি কণার 3টি বেগ আছে, যথা 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ এবং 30 $ms^{-1}$ এবং বেগগুলোর মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$। লব্ধি বেগের মান হলো-)

(ক) $10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
(খ) $10\text{ ms}^{-1}$
(গ) $5\text{ ms}^{-1}$
(ঘ) $\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ধরি, প্রথম বেগটি ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করছে। তাহলে বেগগুলোর কোণ হবে যথাক্রমে $0^\circ$, $120^\circ$ এবং $240^\circ$। x-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_x = 10\cos 0^\circ + 20\cos 120^\circ + 30\cos 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_x = 10(1) + 20(-0.5) + 30(-0.5)$$ $$= 10 - 10 - 15 = -15\text{ ms}^{-1}$$ y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_y = 10\sin 0^\circ + 20\sin 120^\circ + 30\sin 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_y = 0 + 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 30\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$= 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$ লব্ধি বেগের মান: $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ $$= \sqrt{(-15)^2 + (-5\sqrt{3})^2}$$ $$= \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$

প্রশ্ন: একটি ভেক্টর $\vec{A}$ $30^\circ$ কোণে ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। অপর একটি ভেক্টর $\vec{B}$ ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। $|\vec{A}| = 4$, $|\vec{B}| = 8$ হলে, লব্ধি ভেক্টর কোনটি?

(ক) $2\sqrt{3}\hat{i} + 6\hat{j}$
(খ) $\sqrt{7}\hat{i} - 3\hat{j}$
(গ) $2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$
(ঘ) None
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টর: $$\vec{A} = (|\vec{A}|\cos 30^\circ)\hat{i} + (|\vec{A}|\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$\vec{A} = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 4\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টর ঋণাত্মক y-অক্ষ বরাবর ক্রিয়ারত: $$\vec{B} = -8\hat{j}$$ লব্ধি ভেক্টর $$= \vec{A} + \vec{B}$$ $$= (2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}) - 8\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$$

প্রশ্ন: x-অক্ষ বরাবর থেকে $30^\circ$ একটি ভেক্টর $|\vec{A}| = 2$; y অক্ষ বরাবর হতে $|\vec{B}| = 3$ তবে $|\vec{A} - \vec{B}| = ?$

(ক) 2.628
(খ) 2.646
(গ) 3.6148
(ঘ) 1.5168
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টরটিকে উপাংশে ভাগ করলে: $$\vec{A} = (2\cos 30^\circ)\hat{i} + (2\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 2\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টরটি y-অক্ষ বরাবর, তাই: $$\vec{B} = 3\hat{j}$$ এখন, $$\vec{A} - \vec{B} = (\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}) - 3\hat{j} = \sqrt{3}\hat{i} - 2\hat{j}$$ $$\therefore |\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-2)^2}$$ $$= \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \approx 2.646$$
Scroll to Top