Examirox

🎯 নতুন ব্যাচ শুরু হচ্ছে — এখনই নিবন্ধন করো →

প্রশ্ন: যদি $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ হয়, তাহলে $\vec{A} + \vec{B}$ এবং $\vec{A} - \vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ হবে-

(ক) $60^\circ$
(খ) $30^\circ$
(গ) $90^\circ$
(ঘ) $120^\circ$
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
প্রথমে ভেক্টর দুটির যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করি: $$\vec{A} + \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$$ $$\vec{A} - \vec{B} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$$ $$= -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$$ এখন, প্রাপ্ত ভেক্টর দুটির ডট গুণফল: $$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = (4 \times -2) + (1 \times 3) + (-1 \times -5)$$ $$= -8 + 3 + 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফলের মান শূন্য, তাই $(\vec{A} + \vec{B})$ এবং $(\vec{A} - \vec{B})$ এর মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$

প্রশ্ন: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ । $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $30^\circ$
(ঘ) $45^\circ$
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ বা, $$AB\cos\theta = 0$$ যেহেতু, ভেক্টর দুটির মান শূন্য নয় ($A \neq 0, B \neq 0$), তাই $\cos\theta = 0$ হবে। $$\therefore \cos\theta = \cos 90^\circ \Rightarrow \theta = 90^\circ$$

প্রশ্ন: "a" এর কোন মানের জন্য ভেক্টর $a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ এবং $2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}$ একে অপরের সাথে লম্ব হবে?

(ক) 3, 1
(খ) 2, 4
(গ) -2, 1
(ঘ) 3, 2
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ভেক্টর দুটি লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে। $$\therefore (a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}) = 0$$ $$\Rightarrow (a \times 2a) + (-2 \times -a) + (1 \times -4) = 0$$ $$\Rightarrow 2a^2 + 2a - 4 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a^2 + 2a - a - 2 = 0$$ $$\Rightarrow a(a + 2) - 1(a + 2) = 0$$ $$\Rightarrow (a + 2)(a - 1) = 0$$ $$\therefore a = 1, -2$$

প্রশ্ন: যদি $\vec{P} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{Q} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ হলে, $\vec{P}$ এবং $\vec{Q}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $111.01^\circ$
(খ) $110.49^\circ$
(গ) $101.49^\circ$
(ঘ) $69^\circ$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
$$\cos\theta = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}||\vec{Q}|}$$ $$= \frac{(2 \times -1) + (4 \times 2) + (-5 \times 3)}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-5)^2} \times \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}}$$ $$= \frac{-2 + 8 - 15}{\sqrt{4 + 16 + 25} \times \sqrt{1 + 4 + 9}}$$ $$= \frac{-9}{\sqrt{45}\sqrt{14}}$$ $$\therefore \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{45\times 14}}\right) = 111.01^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{a}$ ও $\vec{b}$ দুটি সমান ভেক্টর সমকোণে ক্রিয়া করলে $(\vec{a} + \vec{b})$ ও $(\vec{a} - \vec{b})$ এর ডট গুণফল কত?

(ক) 0
(খ) 4a
(গ) 2a
(ঘ) None
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে, ভেক্টর দুটির মান সমান, অর্থাৎ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = a$ (ধরি)। যেহেতু তারা সমকোণে ক্রিয়াশীল, তাই তাদের ডট গুণফল $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$। এখন, $$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$$ $$= |\vec{a}|^2 - 0 + 0 - |\vec{b}|^2 \text{ [যেহেতু, } \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0\text{]}$$ $$= a^2 - a^2 = 0$$

প্রশ্ন: $30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k})$ এর মান কত?

(ক) $30\hat{i}$
(খ) $-30\hat{i}$
(গ) $3\hat{i}$
(ঘ) $\vec{0}$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, পরস্পর লম্ব একক ভেক্টরগুলোর ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \hat{j} \cdot \hat{k} = |\hat{j}||\hat{k}|\cos 90^\circ = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$$ প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই, $$30\hat{i}(\hat{j} \cdot \hat{k}) = 30\hat{i}(0) = \vec{0}$$

প্রশ্ন: $3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $0^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $137^\circ$
(ঘ) কোনোটিই নয়
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণফল নির্ণয় করে পাই: $$(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$$ $$= (3 \times 3) + (4 \times -1) + (-5 \times 1)$$ $$= 9 - 4 - 5 = 0$$ যেহেতু ডট গুণফল শূন্য, তাই ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব। $$\therefore \theta = \cos^{-1}(0) = 90^\circ$$

প্রশ্ন: $\vec{A} = m\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 10\hat{k}$ পরস্পর দুটি লম্ব ভেক্টর হলে m এর মান কত?

(ক) -22
(খ) 22
(গ) 44
(ঘ) -44
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হয়। $$\therefore \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$ $$\Rightarrow (m \times 2) + (2 \times 3) + (-5 \times 10) = 0$$ $$\Rightarrow 2m + 6 - 50 = 0$$ $$\Rightarrow 2m - 44 = 0$$ $$\Rightarrow 2m = 44$$ $$\Rightarrow m = 22$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$। এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $63.92^\circ$
(খ) $33.74^\circ$
(গ) $123.74^\circ$
(ঘ) $56.25^\circ$
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{AB}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{(2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k})}{\sqrt{4+4+9} \times \sqrt{9+36+4}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{6 + 12 + 6}{\sqrt{17} \times \sqrt{49}}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{17}}\right) = 33.74^\circ$$

প্রশ্ন: A plane has an air speed of 240 $kmh^{-1}$. What should be the plane's heading if it is to travel due north, relative to the earth in a wind blowing with a velocity of 100 km/hr in an easterly direction? (একটি বিমানের গতিবেগ 240 $kmh^{-1}$। যদি পূর্ব দিকে 100 km/hr বেগে বাতাস প্রবাহিত হয়, তাহলে ভূমির সাপেক্ষে উত্তর দিকে ভ্রমণ করতে হলে বিমানটির কোন দিকে রওনা দেওয়া উচিত?)

(ক) $24.62^\circ$
(খ) $2.462^\circ$
(গ) $2462^\circ$
(ঘ) $42.62^\circ$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
বিমানের গতিবেগ (বাতাসের সাপেক্ষে), $v_p = 240\text{ kmh}^{-1}$ বাতাসের বেগ, $v_w = 100\text{ kmh}^{-1}$ (পূর্ব দিকে) বিমানটিকে ভূমির সাপেক্ষে সোজা উত্তর দিকে যেতে হবে। অর্থাৎ লব্ধি বেগ উত্তর দিক বরাবর হতে হবে। যেহেতু বাতাস পূর্ব দিকে বইছে, তাই বিমানটিকে বাতাস ঠেলে উত্তর দিকে যেতে হলে অবশ্যই উত্তর-পশ্চিম (North-West) দিকে মুখ করে রওনা দিতে হবে। ধরি, উত্তর দিকের সাপেক্ষে বিমানটিকে $\theta$ কোণে রওনা দিতে হবে। ভেক্টর চিত্রানুযায়ী একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়, যেখানে অতিভুজ হিসেবে কাজ করে বিমানের নিজস্ব বেগ ($v_p$) এবং লম্ব হিসেবে কাজ করে বাতাসের বেগ ($v_w$)। $$\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{v_w}{v_p}$$ $$\Rightarrow \sin\theta = \frac{100}{240}$$ $$\Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{100}{240}\right)$$ $$\Rightarrow \theta = 24.62^\circ$$

প্রশ্ন: কোনো এক বৃষ্টির দিনে ফাউজিয়া জানালার পাশে দাঁড়িয়ে দেখছিল বৃষ্টি লম্বভাবে 6 $kmh^{-1}$ বেগে পতিত হচ্ছে। ফাউজিয়া লক্ষ্য করল, রাস্তায় একজন লোক 4 $kmh^{-1}$ বেগে হাঁটছে এবং অপরজন 8 $kmh^{-1}$ বেগে সাইকেলে যাচ্ছে। হেঁটে চলা লোকটির সাপেক্ষে পড়ন্ত বৃষ্টির লব্ধি বেগ কত?

(ক) 7.01 $kmh^{-1}$
(খ) 9.01 $kmh^{-1}$
(গ) 8.21 $kmh^{-1}$
(ঘ) 7.21 $kmh^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
বৃষ্টির প্রকৃত বেগ, $v_r = 6\text{ kmh}^{-1}$ (উল্লম্বভাবে নিচের দিকে) হেঁটে চলা লোকের বেগ, $v_L = 4\text{ kmh}^{-1}$ (অনুভূমিক বরাবর) লোকের সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ (লব্ধি বেগ), $\vec{v}_{rL} = \vec{v}_r - \vec{v}_L$ যেহেতু বৃষ্টি উল্লম্বভাবে এবং লোক অনুভূমিকভাবে চলছে, তাদের দিক পরস্পরের সাথে লম্ব, অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$। $$\therefore |v_{rL}| = \sqrt{v_L^2 + v_r^2}$$ $$= \sqrt{4^2 + 6^2}$$ $$= \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$ $$= 7.21\text{ kmh}^{-1}$$

প্রশ্ন: An airplane flies due west at 185 $kmh^{-1}$ with respect to the air. There is a wind blowing at 85 $kmh^{-1}$ to the northeast relative to the ground. What is the plane's speed with respect to the ground? (একটি বিমান বাতাসের সাপেক্ষে 185 $kmh^{-1}$ বেগে পশ্চিম দিকে বইছিল। ভূমির সাপেক্ষে 85 $kmh^{-1}$ বেগে উত্তর-পূর্ব দিকে বাতাস বইছিল। ভূমির সাপেক্ষে বিমানের বেগ কত?)

(ক) 139 $kmh^{-1}$
(খ) 230 $kmh^{-1}$
(গ) 239 $kmh^{-1}$
(ঘ) 179 $kmh^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ধরি, ভূমির সাপেক্ষে বিমানের লব্ধি বেগ = $\vec{v}$ বাতাসের সাপেক্ষে বিমানের আপেক্ষিক বেগ, $v_a = 185\text{ kmh}^{-1}$ (পশ্চিম দিকে) ভূমির সাপেক্ষে বাতাসের বেগ, $v_w = 85\text{ kmh}^{-1}$ (উত্তর-পূর্ব দিকে) আমরা আপেক্ষিক বেগের সূত্র থেকে জানি, $\vec{v}_a = \vec{v} - \vec{v}_w$ $$\Rightarrow \vec{v} = \vec{v}_a + \vec{v}_w$$ অর্থাৎ, ভূমির সাপেক্ষে বিমানের বেগ হবে $\vec{v}_a$ এবং $\vec{v}_w$ এর ভেক্টর যোগফল। এখানে $\vec{v}_a$ (পশ্চিম) এবং $\vec{v}_w$ (উত্তর-পূর্ব) এর মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ $$\therefore v = \sqrt{v_a^2 + v_w^2 + 2 v_a v_w \cos(135^\circ)}$$ $$= \sqrt{185^2 + 85^2 + 2 \times 185 \times 85 \times \cos(135^\circ)}$$ $$= 138.6\text{ kmh}^{-1} \approx 139\text{ kmh}^{-1}$$

প্রশ্ন: A river flows toward the east. You head your boat $53^\circ$ west of north and achieve a velocity of 6.0 $ms^{-1}$ due north relative to the shore. What is your speed relative to the water? (একটি নদী পূর্ব দিকে প্রবাহিত হচ্ছে। তুমি তোমার নৌকাটিকে উত্তর দিকের সাথে $53^\circ$ পশ্চিমে নিয়ে যাও এবং তীরের সাপেক্ষে উত্তর দিকে 6.0 $ms^{-1}$ বেগ অর্জন করো। স্রোতের সাপেক্ষে তোমার গতি কত?)

(ক) 8 $ms^{-1}$
(খ) 6 $ms^{-1}$
(গ) 10 $ms^{-1}$
(ঘ) 12 $ms^{-1}$
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, উত্তর দিক বরাবর বেগ $u_y = 6.0$ $ms^{-1}$ এবং স্রোতের বেগ $u_x = u_{river}$ (পূর্ব দিকে)। চিত্রানুসারে, নৌকাটিকে উত্তর দিকের সাথে $53^\circ$ কোণে (পশ্চিমে) চালনা করা হয়েছে। অতএব, $$\tan 53^\circ = \frac{u_x}{u_y}$$ $$\Rightarrow u_x = \tan 53^\circ \times u_y$$ $$\Rightarrow u_x = \tan 53^\circ \times 6 = 7.96 \approx 8$$ $ms^{-1}$ সুতরাং, স্রোতের বেগ $u_{river} = 8$ $ms^{-1}$ এখন, স্রোতের সাপেক্ষে নৌকার আপেক্ষিক বেগ (গতি), $\vec{u}_{relative} = \vec{u}_y - \vec{u}_{river}$ মান নির্ণয় করলে: $$u_{relative} = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + 2 u_x u_y \cos 90^\circ}$$ $$= \sqrt{8^2 + 6^2 + 2 \cdot 8 \cdot 6 \cos 90^\circ}$$ $$\therefore u_{relative} = \sqrt{64 + 36 + 0}$$ $$= \sqrt{100} = 10$$ $ms^{-1}$

প্রশ্ন: $5 ms^{-1}$ বেগে প্রবাহমান স্রোত বিশিষ্ট একটি নদীতে $10 ms^{-1}$ বেগে চলমান নৌকা 1 hour যাত্রা করে সোজা অপর পাড়ে গিয়ে পৌঁছায়। তাহলে নদীর প্রস্থ কত হবে?

(ক) 30 km
(খ) 31 km
(গ) 32 km
(ঘ) 29 km
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
সোজা অপর পাড়ে পৌঁছানোর ক্ষেত্রে লব্ধি বেগ, $$v_{resultant} = \sqrt{v^2 - u^2}$$ নদীর প্রস্থ, $$d = v_{resultant} \times t$$ $$\Rightarrow d = \sqrt{10^2 - 5^2} \times (60 \times 60)$$ m [যেহেতু, $1$ hour $= 3600$ s] $$\Rightarrow d = \sqrt{75} \times 3600$$ m $$= 31176.9$$ m $$\therefore d = 31.176$$ km $$\approx 31$$ km

প্রশ্ন: $4 kmh^{-1}$ বেগে প্রবাহমান স্রোতযুক্ত নদীতে কত কোণে নৌকা চালালে $5 kmh^{-1}$ বেগে নৌকা চালাতে সক্ষম একজন মাঝি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে?

(ক) $120^\circ$
(খ) $90^\circ$
(গ) $136.37^\circ$
(ঘ) $143.1301^\circ$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
নৌকাটি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছাতে হলে স্রোতের দিকের সাথে লব্ধি বেগের অনুভূমিক উপাংশ শূন্য হতে হবে। $$v \cos\alpha + u = 0$$ $$\Rightarrow \alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{u}{v}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(-\frac{4}{5}\right)$$ $$= 143.1301^\circ$$

প্রশ্ন: একটি নদীর প্রস্থ 400 m এবং স্রোতের বেগ $3 ms^{-1}$। একজন মাঝি $5 ms^{-1}$ বেগে নৌকা চালিয়ে আড়াআড়িভাবে নদী পার হতে চাইলে কত সময় লাগবে?

(ক) 80 s
(খ) 100 s
(গ) 120 s
(ঘ) 150 s
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
আড়াআড়ি (সোজা অপর পাড়ে) চলার জন্য প্রয়োজনীয় কোণ, $$\alpha = \cos^{-1}\left(-\frac{u}{v}\right)$$ $$= \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)$$ $$= 126.86^\circ$$ $\therefore$ প্রয়োজনীয় সময়, $$t = \frac{d}{v \sin\alpha}$$ $$= \frac{400}{5 \sin 126.86^\circ}$$ $$= 99.987 \approx 100$$ s

প্রশ্ন: The pilot of a private plane flies 20.0 km in a direction $60^\circ$ north of east, then 30.0 km straight east, then 10.0 km straight north. How far the plane is from the starting point? (একটি ব্যক্তিগত বিমানের পাইলট পূর্বদিকের সাথে $60^\circ$ কোণে উত্তর দিকে 20.0 কিমি উড়ে, তারপর সোজা পূর্ব দিকে 30.0 কিমি, তারপর সোজা উত্তরে 10.0 কিমি উড়ে। বিমানটি শুরুর স্থান থেকে কত দূরে অবস্থিত?)

(ক) 58.44 km
(খ) 38.44 km
(গ) 48.44 km
(ঘ) 46.44 km
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, শুরুর স্থানটি মূলবিন্দু (0,0)। পূর্ব দিককে x-অক্ষ এবং উত্তর দিককে y-অক্ষ বিবেচনা করি। মোট পূর্ব দিকের (x-অক্ষ) সরণ: $$D_E = 20\cos 60^\circ + 30 + 0$$ $$= 20(0.5) + 30 = 10 + 30 = 40\text{ km}$$ মোট উত্তর দিকের (y-অক্ষ) সরণ: $$D_N = 20\sin 60^\circ + 0 + 10$$ $$= 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 10$$ $$= 10\sqrt{3} + 10 \approx 17.32 + 10 = 27.32\text{ km}$$ শুরুর স্থান থেকে মোট দূরত্ব (লব্ধি সরণ): $$R = \sqrt{D_E^2 + D_N^2}$$ $$= \sqrt{40^2 + (27.32)^2}$$ $$= \sqrt{1600 + 746.38} = \sqrt{2346.38} \approx 48.44\text{ km}$$

প্রশ্ন: A particle has 3 velocities 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ and 30 $ms^{-1}$ inclined at angle of $120^\circ$ to one another. The magnitude of the resultant velocity is- (একটি কণার 3টি বেগ আছে, যথা 10 $ms^{-1}$, 20 $ms^{-1}$ এবং 30 $ms^{-1}$ এবং বেগগুলোর মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$। লব্ধি বেগের মান হলো-)

(ক) $10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
(খ) $10\text{ ms}^{-1}$
(গ) $5\text{ ms}^{-1}$
(ঘ) $\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ধরি, প্রথম বেগটি ধনাত্মক x-অক্ষ বরাবর ক্রিয়া করছে। তাহলে বেগগুলোর কোণ হবে যথাক্রমে $0^\circ$, $120^\circ$ এবং $240^\circ$। x-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_x = 10\cos 0^\circ + 20\cos 120^\circ + 30\cos 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_x = 10(1) + 20(-0.5) + 30(-0.5)$$ $$= 10 - 10 - 15 = -15\text{ ms}^{-1}$$ y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_y = 10\sin 0^\circ + 20\sin 120^\circ + 30\sin 240^\circ$$ $$\Rightarrow R_y = 0 + 20\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 30\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$= 10\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = -5\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$ লব্ধি বেগের মান: $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ $$= \sqrt{(-15)^2 + (-5\sqrt{3})^2}$$ $$= \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\text{ ms}^{-1}$$

প্রশ্ন: একটি ভেক্টর $\vec{A}$ $30^\circ$ কোণে ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। অপর একটি ভেক্টর $\vec{B}$ ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে ক্রিয়ারত। $|\vec{A}| = 4$, $|\vec{B}| = 8$ হলে, লব্ধি ভেক্টর কোনটি?

(ক) $2\sqrt{3}\hat{i} + 6\hat{j}$
(খ) $\sqrt{7}\hat{i} - 3\hat{j}$
(গ) $2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$
(ঘ) None
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টর: $$\vec{A} = (|\vec{A}|\cos 30^\circ)\hat{i} + (|\vec{A}|\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$\vec{A} = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 4\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টর ঋণাত্মক y-অক্ষ বরাবর ক্রিয়ারত: $$\vec{B} = -8\hat{j}$$ লব্ধি ভেক্টর $$= \vec{A} + \vec{B}$$ $$= (2\sqrt{3}\hat{i} + 2\hat{j}) - 8\hat{j}$$ $$= 2\sqrt{3}\hat{i} - 6\hat{j}$$

প্রশ্ন: x-অক্ষ বরাবর থেকে $30^\circ$ একটি ভেক্টর $|\vec{A}| = 2$; y অক্ষ বরাবর হতে $|\vec{B}| = 3$ তবে $|\vec{A} - \vec{B}| = ?$

(ক) 2.628
(খ) 2.646
(গ) 3.6148
(ঘ) 1.5168
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
$\vec{A}$ ভেক্টরটিকে উপাংশে ভাগ করলে: $$\vec{A} = (2\cos 30^\circ)\hat{i} + (2\sin 30^\circ)\hat{j}$$ $$= 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\hat{i} + 2\left(\frac{1}{2}\right)\hat{j}$$ $$= \sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}$$ $\vec{B}$ ভেক্টরটি y-অক্ষ বরাবর, তাই: $$\vec{B} = 3\hat{j}$$ এখন, $$\vec{A} - \vec{B} = (\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j}) - 3\hat{j} = \sqrt{3}\hat{i} - 2\hat{j}$$ $$\therefore |\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-2)^2}$$ $$= \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \approx 2.646$$

প্রশ্ন: 40 kg ভরের বস্তুকে উল্লম্বের সাথে $45^\circ$ কোণে দুটি সুতা দিয়ে ঝুলিয়ে রাখলে সুতার টান কত হবে?

(ক) 277.186 N
(খ) 288.576 N
(গ) 196 N
(ঘ) 554.372 N
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
ভারসাম্য অবস্থায়, সুতার টানের উল্লম্ব উপাংশগুলোর যোগফল বস্তুর ওজনের সমান হবে। ধরি সুতার টান $T$। $$T\cos 45^\circ + T\cos 45^\circ = W$$ $$\Rightarrow 2T\cos 45^\circ = mg$$ $$\Rightarrow 2T \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 40 \times 9.8$$ $$\Rightarrow \sqrt{2}T = 392$$ $$\therefore T = \frac{392}{\sqrt{2}} \approx 277.186\text{ N}$$

প্রশ্ন: ABCD বর্গের AB, AC, AD বাহু বরাবর 5, $3\sqrt{2}$, 3 একক বল ক্রিয়া করলে লব্ধি বলের মান ও দিক কোনটি? (AB বাহুর সাপেক্ষে)

(ক) 10, $\tan^{-1}\frac{6}{8}$
(খ) 10, $\tan^{-1}\frac{8}{6}$
(গ) 10, $\tan^{-1}\frac{3}{8}$
(ঘ) 10, $\tan^{-1}\frac{6}{4}$
সঠিক উত্তর: (ক)
ব্যাখ্যা:
AB বাহুকে x-অক্ষ ধরলে, বলগুলোর দিক হবে যথাক্রমে $0^\circ$, $45^\circ$ এবং $90^\circ$। x-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_x = 5\cos 0^\circ + 3\sqrt{2}\cos 45^\circ + 3\cos 90^\circ$$ $$\Rightarrow R_x = 5(1) + 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3(0) = 5 + 3 + 0 = 8$$ y-অক্ষ বরাবর লব্ধির উপাংশ: $$R_y = 5\sin 0^\circ + 3\sqrt{2}\sin 45^\circ + 3\sin 90^\circ$$ $$\Rightarrow R_y = 0 + 3\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3(1) = 0 + 3 + 3 = 6$$ লব্ধির মান, $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ $$= \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$$ লব্ধির দিক, $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right)$$

প্রশ্ন: একটি লন রোলার ঠেলা বা টানার সময় তুমি এর হাতলে অনুভূমিকের সাথে $30^\circ$ কোণে 19.6 N বল প্রয়োগ করছ। এটা টানা অপেক্ষাকৃত সহজ কারণ এর ওজন তখন কমে-

(ক) $\sqrt{3}$ kg-weight
(খ) 19.6 kg-weight
(গ) 1 kg-weight
(ঘ) 9.8 kg-weight
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
লন রোলার টানার সময় বলটিকে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায়: ১. অনুভূমিক উপাংশ: $F\cos\theta$ (যা রোলারটিকে সামনের দিকে নিয়ে যায়) ২. উল্লম্ব উপাংশ: $F\sin\theta$ (যা উপরের দিকে ক্রিয়া করে রোলারের আপাত ওজন কমায়) এখানে, প্রযুক্ত বল, $F = 19.6\text{ N}$ এবং কোণ, $\theta = 30^\circ$ ওজন কমার পরিমাণ = উল্লম্ব উপাংশ $$= F\sin 30^\circ$$ $$= 19.6 \times 0.5 = 9.8\text{ N}$$ এখন, ওজনকে kg-weight এককে নিতে হলে $g$ ($9.8\text{ ms}^{-2}$) দিয়ে ভাগ করতে হবে। $\therefore$ ওজন কমে $$= \frac{9.8}{9.8}\text{ kg-weight} = 1\text{ kg-weight}$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর রাশির বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর লব্ধিদ্বয় যথাক্রমে 28 একক ও 4 একক। রাশি দুটি পরস্পরের সাথে $90^\circ$ কোণে কোন একটি কণার উপর ক্রিয়া করল। লব্ধির মান কত?

(ক) None of them
(খ) 28 unit
(গ) 24 unit
(ঘ) 20 unit
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, ভেক্টর দুটি P ও Q (যেখানে P > Q)। বৃহত্তর লব্ধি (সর্বোচ্চ মান), $$P + Q = 28$$ ক্ষুদ্রতর লব্ধি (সর্বনিম্ন মান), $$P - Q = 4$$ সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই, $$2P = 32 \Rightarrow P = 16$$ সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে পাই, $$2Q = 24 \Rightarrow Q = 12$$ এখন, রাশি দুটি পরস্পরের সাথে $\alpha = 90^\circ$ কোণে ক্রিয়া করলে লব্ধি R হবে: $$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos 90^\circ}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{P^2 + Q^2} \text{ [যেহেতু } \cos 90^\circ = 0 \text{]}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{16^2 + 12^2}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{256 + 144}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{400}$$ $$= 20 \text{ unit}$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টরের মধ্যে একটি অন্যটির দ্বিগুণ এবং এদের লব্ধির মান বড় ভেক্টরটির সমান হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যকার কোণের মান-

(ক) $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
(খ) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$
(গ) $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)$
(ঘ) $\cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, ছোট ভেক্টরটি P এবং বড় ভেক্টরটি 2P। প্রশ্নমতে, লব্ধির মান বড় ভেক্টরটির সমান, অর্থাৎ $R = 2P$। ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে লব্ধির সূত্রানুসারে, $$R^2 = P^2 + (2P)^2 + 2 \cdot P \cdot (2P) \cos\theta$$ $$\Rightarrow (2P)^2 = P^2 + 4P^2 + 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow 4P^2 = 5P^2 + 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow 4P^2 - 5P^2 = 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow -P^2 = 4P^2 \cos\theta$$ $$\Rightarrow \cos\theta = -\frac{P^2}{4P^2}$$ $$\Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{4}$$ $$\therefore \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)$$

প্রশ্ন: দুইটি সমান মানের ভেক্টরের লব্ধির মান কোন অবস্থায় ওদের প্রত্যেকের মানের সমান হতে পারে?

(ক) $0^\circ$
(খ) $60^\circ$
(গ) $90^\circ$
(ঘ) $120^\circ$
সঠিক উত্তর: (ঘ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, সমান দুইটি ভেক্টরের মান = P এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে, লব্ধি, $$R = \sqrt{P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cos\alpha}$$ $$\Rightarrow R = \sqrt{2P^2(1 + \cos\alpha)}$$ $$= \sqrt{2P^2 \cdot 2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$$ $$= 2P \cos\frac{\alpha}{2}$$ প্রশ্নমতে, লব্ধির মান ভেক্টর দুটির মানের সমান, অর্থাৎ $R = P$ সুতরাং, $$2P \cos\frac{\alpha}{2} = P$$ $$\Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \cos\frac{\alpha}{2} = \cos 60^\circ$$ $$\Rightarrow \frac{\alpha}{2} = 60^\circ$$ $$\therefore \alpha = 120^\circ$$

প্রশ্ন: দুটি সমান ভেক্টরের লব্ধি নাল ভেক্টর হলে ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

(ক) $90^\circ$
(খ) $180^\circ$
(গ) $0^\circ$
(ঘ) $270^\circ$
সঠিক উত্তর: (খ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, সমান ভেক্টর দুটির মান P এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$। লব্ধি নাল ভেক্টর হওয়ায় লব্ধির মান 0 হবে। লব্ধির সূত্রানুসারে, $$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha$$ $$\Rightarrow 0 = P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cos\alpha \text{ [যেহেতু Q = P]}$$ $$\Rightarrow 0 = 2P^2 + 2P^2 \cos\alpha$$ $$\Rightarrow 0 = 2P^2(1 + \cos\alpha)$$ $$\Rightarrow 1 + \cos\alpha = 0$$ $$\Rightarrow \cos\alpha = -1$$ $$\therefore \alpha = 180^\circ$$

প্রশ্ন: দুটি ভেক্টর রাশির লব্ধির সর্বোচ্চ মান 25 একক এবং সর্বনিম্ন মান 7 একক। ভেক্টর দুটির মান কত?

(ক) 25, 18
(খ) 14, 7
(গ) 16, 9
(ঘ) 20, 5
সঠিক উত্তর: (গ)
ব্যাখ্যা:
ধরি, ভেক্টর দুটি A ও B (যেখানে A > B)। আমরা জানি, লব্ধির সর্বোচ্চ মান ভেক্টরদ্বয়ের যোগফলের সমান এবং সর্বনিম্ন মান ভেক্টরদ্বয়ের বিয়োগফলের সমান। শর্তমতে, $$A + B = 25 \dots (i)$$ $$A - B = 7 \dots (ii)$$ সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই, $$2A = 32 \Rightarrow A = 16$$ সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই, $$2B = 18 \Rightarrow B = 9$$ সুতরাং, ভেক্টর দুটির মান 16 এবং 9।
Scroll to Top